وُلد الزعنون في 28 كانون الأول/ديسمبر 1933 في غزة.
تلقى تعليمه الأساسي والابتدائي في مدارس قطاع غزة. 
حاصل على "ليسانس" في الحقوق من كلية الحقوق بجامعة القاهرة عام 1955، ثم على دبلوم الدراسات العليا في الحقوق من نفس الجامعة 1957، كما منحته دبلوم الدراسات العليا في الاقتصاد السياسي سنة 1958.
وخلال دراسته في القاهرة، تولى الزعنون موقع السكرتير العام لرابطة الطلاب الفلسطينيين 1954-1955، وشارك عامي 1956 و1957 في قيادة المقاومة الشعبية في قطاع غزة أثناء العدوان الثلاثي على مصر.
وتولى الزعنون مسؤولية القائم بأعمال النائب العام في قطاع غزة من أواخر 1955 وحتى أيلول/ سبتمبر 1960، حيث انتقل إلى الكويت وعمل مدعيا عاما فيها، إضافة إلى تدريسه مادة التحقيق الجنائي في كلية الشرطة بالكويت حتى سنة 1975.
وأصبح عضوًا في لجنة وضع قانون الجزاء الكويتي برئاسة الراحل الشيخ سعد العبد الله الصباح، وترأس لجنة الدستور الفلسطيني عام 2011، ولجنة إعداد نظام انتخابات المجلس الوطني الفلسطيني المنبثقة عن اتفاقية القاهرة 2011.
يُعد سليم، سياسي فلسطيني مخضرم، وأحد قادة حركة "فتح التاريخيين، انتخب أمينا للسر في هيئة رئاسة المجلس الوطني، في دورته الرابعة، التي استضافتها القاهرة في تموز/ يوليو 1968.
وأصبح الراحل نائبا لرئيس المجلس الوطني الفلسطيني سنة 1969، وشغل منصب رئيس المجلس بالوكالة في الفترة ما بين 1993-1996، حيث انتخب بالإجماع رئيسا للمجلس في الدورة الحادية والعشرين التي عقدت بمدينة غزة عام 1996.
انضم الزعنون لعضوية اللجنة المركزية لحركة "فتح"، وأصبح معتمدها في الكويت والخليج، وأعيد انتخابه عضوا في اللجنة المركزية لحركة "فتح" عام 2009.
وللراحل سليم الزعنون 4 دواوين شعرية، هي: "يا أمة القدس" و"وهكذا نطق الحجر"، و"نجوم في السماء"، و"آخر القطاف"، وكتاب "التحقيق الجنائي"، وعدة دراسات قانونية وسياسية. وصدر له عام 2013 كتاب "السيرة والمسيرة.. مذكرات سليم الزعنون (أبو الأديب).
تُوفي في 14 ديسمبر 2022 في العاصمة الأردنية عمان.